杂项(血口喷人)

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范畴论中的 colimit, limit

colimit 的箭头是从序列 i.e. \(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow \ldots\) 到 nadir 的 ,即每个 \(i\) 都指到 \(\mathrm{colim}_i C_i\)。从 \(\mathrm{colim} C_i\) 回不到 \(i\),从哪个 \(i\) 开始你得到的 colim 都一样。一般来说你并不知道 colimit 长啥样,你在构造它。 或者说有一个机器 \(F(·)\), 你知道的信息是往槽里扔的东西,不是扔进去后机器吐出来的东西,极限最终是关于 F 的 codomain 的。 limit 的箭头从 \(\mathrm{lim}_i C_i\) 指到 i,一般来说 limit 长啥样你已经知道了,\(F(·)\)吐出来的东西,但 \((·)\) 是什么玩意你不太清楚,极限是关于 domain 的——你从已经有的极限出发还原出序列。 limit比较几何/李代数,colimit比较代数/交换环。 几何不用多说,一个词presheaf,一句话“粘连”操作都是在从比较大的集合往小的集合走,集合上有东西。李代数中考虑各种 central series,从 G 往下用李括号找即可。 交换环论,比如\( u \in R\) (ring) irreducible,prime ideal,“交换环的理想 \(P\) prime 那么 \(f^{-1}(P)\) prime if \(f\) homomorphic”。这延伸到代数几何上,irreducible variety。它们的定义多是“\(V\)不能写成\(V_1\)和\(V_2\)的并”,“\(uv=0\)那么要么\(u=0\)要么\(v=0\)”,“\(R\)里的\(a=uv\)那么要么\(u\)在\(R\)里要么\(v\)在\(R\)里”,长相概括起来是「从一个元素“往上”到更多你并不知道长啥样的元素的并/乘积」。colimit 的序列多是在模掉什么,或者从 colimit 投影下来的东西。

流形的概念可以不依赖欧氏空间来定义吗?

在现代几何中,有时流形就直接定义成 locally ringed space。我读 Hartshorne 前(因此不知道概形也不知道环的谱)学了 supergeometry(基本上=DDG,higher geometry 全都得用后面说的这种定义),其中就用这样的定义,不需要走到 S(ynthetic) DG 这种高端玩意。首先流形是 locally ringed space 这个定义与经典定义等价是显然的。关于 sheaf 上的 restriction 自然的 morphism 是流形这个范畴上的 morphism。对于交换环 \(R\),其 maximal ideal \(F\), 如果有 surjective ring homomorphism \(f\),那么 \(f^{-1}(F)\) 也是 maximal ideal,因此关于 co-restriction 自然的 morphism 是交换环范畴上的 morphism。locally ringed space 的层的 stalk admit maximal ideal。因此 Spec\((R)\) 和 \(\Gamma(U)\) 互为 adjunct。流形的结构层可以看成预层 \(Hom(R,·)\),开集的归纳极限 = stalk 有 maximal ideal。交换环的谱是上预层/协变函子 \(Hom(·,U)\),附加上 Zariski topology 其 maximal ideal 是闭的点。总结起来,交换环可以看成流形的逆范畴——至少流形的范畴是交换环的逆范畴的 full subcategory,因为交换环的 morphism 对 co-restriction 自然,restriction 的可逆性不成问题(我这里这个co-restriction其实就是restriction的逆..)。这个现象整体上叫 Isbell duality,nlab 上有非常详细的描述。现在你可能连仿射簇都不熟悉,也就是说对古典代数几何没有任何知识,也能十分熟悉抽象代数几何的语言。这也是我感觉你学物理的为了装逼即使不做弦唯象论/紧化本科还在那读 Hartshorne 很傻逼的原因。

Dirac 几何 (2020年9月)

有同学问我那些 Courant algebroid, Dirac structure 和 foliation 在哪学的,虽然说实际上我单纯就是读文献自然而然学到的,但这类学问总称 Dirac/generalized geometry,_在 MIT 公开课上有_ https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-dirac-geometry-fall-2006/lecture-notes/ 跟约束系统的哈密顿力学和变分问题的关系实际上是显然的,因为刚开始 Hitchin 提出 generalized geometry 的时候,就是在研究拓扑p-膜(arXiv:hep-th/0411073),变分问题就是 Hitchin functional,如果你读过周坚教授的伟大作品,或者说归农对伟大作品的评论( https://www.douban.com/note/703903917/ ),你会看到“讲了Dijkgraaf和Vafa在巴黎的国际弦论会议上的报告,用到Hitchin定义的作用量会定义一种7维的场论。他说大部分东西数学上还不清楚,年轻人可以趁着新鲜的时候进行研究”,说的就是这个,7维的 special holonomy manifold 就是 \(G_2\)流形(对应11维超引力紧化的7维流形),Hitchin functional 就在做体积形式的 calibration。似乎任何有 surjective anchor to TM 的 algebroid 都能嵌入 symplectic dg-manifold,想到sdg流形的变分问题也因此很自然。也可以从另一种更本质少技术化的观点去看这件事,sdg manifold 大概就是 n-辛形式 degenerate 时把 degeneracy encode 到上链复形的几何结构,比如辛形式 degenerate (因此不是辛形式,有 Poisson bivector)会得到泊松流形 = Lie algebroid(有 fully faithful functor dg-manifold \(\rightarrow L_\infty\) algebroid),Jacobi identity 被破坏(有 nijenhuis tensor \(~\) trivector)就变成 Courant algebroid = symplectic Lie \(2-\)algebroid,etc. 被破坏的项再往高阶走自然给出 \(L_\infty\) (同伦李代数)结构,刻画几何结构破坏的 polyvector 对应 n-symplectic structure = \(n-\)维的顶形式 = 拉氏量 = n维物体的 Nambu-Goto 拉氏量。跟约束系统哈密顿力学的关系基本上可以从2维 Nambu-Goto的分析中直接类比过去,i.e. 重参数化不变性是一个一级约束。然后好像(后面是还没动手算但八成正确的推测)在边界上 Nambu-Goto 作用量会变成(共形的)非线性sigma模型,应该需要引入一个跟 isotropic splitting 有关的手征,i.e. 就是 generalized metric,2维下是 \(O(d,d)\)。不过也有可能是2维比较特殊,反正从 Courant sigma model 能自然得出 Polyakov action,boundary brane 上的 charge 是 Courant algebroid 上的一个对应 3rd de Rham cohomology 的 twist。无论如何 Dominic Joyce 做着 \(G_2\) manifold “突然”开始搞 derived symplectic geometry 是有原因的。 这些东西不难学,微分几何的基础(李导数,李代数和切丛-余切丛之间的映射(上下指标体操))玩好了,应该不用一个月就能多少想象这些几何结构大体长什么样了。不过学起基础来简单,实际做起来很难,groupoid、stack、gerbe 四处乱飞,能跟 Lurie 那些 higher topos theory 无缝结合,回到抽象代数几何看那些 Tor、Ext、scheme、coherent sheaf 都感觉是安慰。 还有些值得进一步研究的现象,量子化、朗兰兹和镜对称的关系极度复杂:

  1. Generalized geometry 跟 T对偶 有很大的关系,也可以拿来研究 SYZ mirror symmetry,镜对称的另一个方向是 Homological mirror symmetry
  2. Symplectic Lie n-algebroid 是研究几何量子化的自然语言,我现在关注的一个问题就是 algebroid embedding 中的 algebroid 上的 Dirac structure (特别是对应dg-manifold的示性类在这里的行为)与几何/形变量子化的关系,感觉一些动力系统的观念(Dirac strucure 可积!)能帮助人理解量子化时正在发生什么,理解顶点算子代数的行为。
  3. shifted symplectic structure ~ symplectic dg-manifold 在代数几何上能用来研究 geometric langlands
  4. Kapustin 和 Witten 在 geometric langlands 的场论描述开山论文里就用了大量 generalized geometry,不知细节如何,还没看过。

Langlands duality \(~\) S duality,实际上又有点像 AdS/CFT 的 "topological sector",共形场论\(~\)表示论,引力\(~\)几何。「我现在关注的一个问题」可能跟这个有关系,不知道。

拉氏量为什么不是物理的

\(S=\int L dt\)的 \(L\) 不是物理的,因为 \(L\) 可以随便加一个全导数项,论证已经结束了。就是这个全导数项导致的 2d WZW 有 canonical splitting,对应勒让德变换到哈密顿形式后流代数 = Virasoro 代数可分解到两个手性的子代数。

用的拉氏量是密度完全无关紧要,因为你完全可以把 \(S=\int L dt\) 的 \(L\) 写成 de Rham 复形上的东西,这就跟什么坐标选取(参数化)没关系了,但仍然有一个随便加一个 exact top form 的自由度。

当然如果你学过 Chern-Simons 磁单极之类也会知道 topological term 等等,知道使 \(e^{iS}\) 不变的变换也有物理。

补充:

见过那些被软文写手们吹的极为厉害的 Stokes 定理的这种形式: \(\int_S \omega = \int_V d \omega\) 的人应该都知道 \(d \omega\) 是什么,它是个 de Rham complex 上的顶形式。Lagrangian 就是这个 de Rham complex 上的顶形式,它以 \(\int L dt\) 中的 \(L\) 的形式写出来当然不可以说是洛伦兹不变的,但 \(L dt = \mathcal{L} d^4 x = \hat{L}\) 确实是洛伦兹不变的啊不是么?它是个顶形式,那么它难道就 物理 了嚒,简单点说我把狭义相对论点粒子的 Lagrangian \( L = -mc^2/\gamma\) 换成 \( L = -mc^2\),\(dt \rightarrow d\tau\),难道一个拉氏量就物理一个就不物理了么,也是蛮奇怪的。学过广义相对论的应该都知道 \(\omega = \sqrt{|g|}\bigwedge^i dx_i\),记得我读 Wald 那个附录同时在讲 Frobenius 定理,那时大二水平实在不行差点读睡着。再看上面那个公式,\(\int_V d \omega = \int_S \omega\),是不是扔掉 \(\int_S\),任何恰当形式 \(d \omega\) 的积分都是零,也就是说你在\(L\)后面加个恰当形式\(\Omega = d \omega\),如果扔掉边界,\(\int \hat{L} = \int \{\hat{L} + \Omega \} = S\),作用量不变啊。而且说真的作用量都不是物理的,否则我们哪会遇上各种量子反常,物理的是配(分)分(区)函数。我似乎从来没见过做统计物理的说 \(Z = \int [dx] \exp(-\beta H)\) 里面那个 \(\beta H\) 是物理的,倒经常见到场论没学明白而且喜爱广义相对论的这么说。

SUSY:超弦与超对称模型的关系

我能写一个 top-down 的综述。 超弦的超对称跟标准模型扩展的超对称模型的关系,基本上就是没有关系的关系。在弦论/超引力中超对称是规范作用和自旋联络的「规范对称性」,也可以看成 不是 个对称性,而是相互作用的规范结构。在标准模型扩展里它就真的是个对称性,物理学家的垃圾术语是“整体对称性”,说的就跟局域对称性是对称性一样。

  1. 在场论中讨论粒子时人首先考虑庞加莱群的不可约幺正表示,然后做那个一大坨人在支乎大吹却没几个人看懂的 Wigner classification。在超对称模型中,你单纯是把那个庞加莱群换成超庞加莱群,粒子构成超庞加莱群的不可约幺正表示。规范群根本没变。
  2. 弦论的超对称在超引力极限下是在把超庞加莱群本身当作规范群的情况下出现的,你把广义相对论用 Cartan formalism 写出来,引力变成某种类似规范理论的「规范」相互作用,其联络是自旋联络。然后你把庞加莱代数变成超庞加莱代数,广义相对论就变成超引力了。
  3. 就跟广义相对论的时空在局域上有庞加莱对称性但整体上一般没有一样[有=有对应庞加莱群 generator (= 矢量场)的 Killing 矢 (= 沿着这个矢量场的度规的李导数是零;这就诺特定理)],超引力在局域上超对称,整体上完全没必要有那个超对称:如果有 Killing Spinor 那就有。所谓紧化后的(整体)超对称不是TM破缺出来是 preserve 出来的。解 Killing Spinor Eqs 是个很大很难的学问,像研究 Hull-Strominger system 都不是物理学家和分析不好的数学家能做的事。Dominic Joyce 这类人做的 G2-manifold 的几何也都与此相关。
  4. 「整体上有一个超对称」这个假设很像广义相对论背景下「有一个整体平移对称性」,可以说是非常有幻想力的假设,毕竟在弯曲时空上能量守恒定律(对应时间平移)都没定义。而且无论如何 LHC 上撞的模型都跟弦紧化后得到的东西没什么直接关系,至今都没人能从弦论回归到标准模型,你还做个屁实验。\(N=1\) 整体 超对称主要是粒子物理那边想解决 hierarchy 之类问题在那猜的。超弦的 局域 超对称是推出来的,基本上 1.fundamental object 是弦 2.有费米子(弦)= 必须有局域超对称,两者都能跟超对称搭上关系是非常奇怪的事情。
  5. 唯象论上关心的是 MSSM、NMSSM 之类具体的,唯象学家用手写出来的模型。MSSM 是 \(N=1\) 超对称,这玩意貌似没啥希望,所以能给出 \(N=1\) 超对称的紧化可能也不太行(我不是很关心这些问题,也不想关心这些问题,所以这句很可能有错)。
  6. 所谓 \(10^{500}\) 个“自由度”总比构成一个连续统好——量子场论的自由度可确实是一个连续统。说超弦本身的“对错”,这说法就跟说量子场论有“对错”一样不像人话——它们不是理论是理论框架,微积分的对错?代数几何的对错?什么宣称自己读了哈佛的弦论博士转行金融后在那扯什么LHC上试图撞出来的超对称跟超弦有关,什么超弦在根据实验结果修改理论,就特别搞笑,我怀疑这人弦论是在哈尔滨佛学院学的。
  7. 丘成桐大力推荐搞撞超对称的活动我倒能理解,因为要把10维超引力紧化后搞出 \(N=1\) 整体 超对称,那个紧化的6维流形在没有 flux 的情况下得是 Calabi-Yau (Yau=丘)的,因此唯象学上的超对称跟这个特别的被紧化的时空的结构的选择有很大的关系。

当然超对称也不仅仅是在弦论中才 make sense,在引力理论中,局部,i.e. 开覆盖的一个开集上,Wigner classification 仍然适用(因为这单纯就是平直时空上的场论),粒子是等距群的不可约表示,因此粒子类可以看成构成复线性张量范畴,如果群\(G\)的表示构成这样的张量范畴,那么\(G\)是超群。这并不保证超对称一定存在,因为超群\(G\)去掉”超“的子群仍然适用,但最一般的选择是一个超群。Coleman-Mandula 定理杜绝了混合内部规范群和时空对称群的可能,要做量子引力能改的只有庞加莱群,扩张到超庞加莱群是最自然的选择。超对称的数学形式由于前面那个关于张量范畴的现象也很漂亮,另外粗略说层上的环通过 Koszul dual 可对应到 dg 代数并因此对应到 derived geometry,直接把 \(1-\)category 结构变成 \(\infty\)-categroy 结构,从一般结构跳到 higher structure,这个地方有人说的QCD那个\(SU(3)\)也就个 \(SU(3)\)-principal bundle,这种古代数学,甚至 Atiyah-Singer 指标定理,在超对称导致的数学面前应该是被吊打才对。 真想得出整体超对称的紧化问题现在除了少数数学家都没什么人做了,即使是紧化问题,flux compactification 的研究所给出的对紧化前的超引力理论的几何结构的研究以及它附带的数学也比试图搞出整体超对称丰富的多,至少目前看如此。做理论的真的是 don't fucking care,做唯象论和实验的才关心 LHC 能不能撞出超对称,他们与理论家的利益关系并不一致,出路也比理论家好的多,quit后并没有失业的说法。而起做唯象的人比做理论的人以及你球\(99.999\%\)人都懂什么叫尊重实验结果,实验家也知道该怎么做实验,下一步该做的实验是什么,他们有自己的打算。他们不是理论家的跟班,理论家搞的东西他们看都看不懂也没什么看懂的欲望,有很多人根本就不学弦论,甚至超对称场论也不学,理论家做的东西在他们看来就是幻想。 弦论在唯象论上的用处可能就是通过弦论得出的大量场论对偶发展一些计算工具,比如微扰规范理论跟扭量空间里的弦论的对偶,后者比前者好算,有些电脑不可能算的太复杂的东西放对偶理论里能得到极大的简化。另外加速器没有社会应用也纯属不懂行的人的幻觉: https://kt.cern/cern-technologies-society 。我不是个非常进步的人,并不认为这些应用是“好”的,但它们存在。鼓吹超对称模型,真做理论的理论家并不会因此拿到更多经费或者有机会活着拿诺贝尔,我这种做的东西已经理论到彻底跟实验脱节的人更是半点好处都没有。但给大众看的肯定是理论家的屁话,因为形成图像和解释的是理论;理论家做的真理论反正人也看不懂,就只能忽悠两句。实验家做的东西完全无法与技术细节分开,而技术细节我一个学过 collider physics 和标准模型唯象学的都看不大懂,当然不会有什么人脑抽试图介绍给大众。

磁单极

一个非常美妙的休闲方式就是上知乎看民科,而且我不知道为什么近来天天都能看到这天杀的磁单极..https://www.zhihu.com/question/328893495 如果不提规范变换,麦克斯韦方程本身确实可以瞎改,事实上修改后你对电磁场的定义就变了。而都提规范变换了,那磁荷直接就会被断绝生路。电磁场张量是\(U(1)\)主丛的曲率\(2-\)形式的局部形式。\(3+1\)维平直没孔的时空 \(R^4\) 上曲率\(2-\)形式有全局定义,而且作为\(U(1)\)联络的协变导数就是联络的外微分,因此是恰当\(2-\)形式,再做一个外微分肯定是零。磁单极在我们的时空是在 数学 上被禁止的。 反方向考虑第二de Rham上同调,在\(R^4\)这是\(0\),所以闭的\(2-\)形式直接表示它是某个\(1-\)形式外微分出来的,拓扑如此刚性,你根本无从下手修改。如果是拓扑不怎么平凡的空间,比如\(S^2\),即使是闭的\(2-\)形式也可能不来自\(U(1)\)联络的协变导数,所以你可以反过去修改曲率\(1-\)形式,看嘉当结构方程会不会在全局上给出一个非闭的\(2-\)形式。所以你如果能在时空上”去掉一个点“,先不谈这到底是什么意思,这还有可能。这就是狄拉克的做法。或者你可以改变电磁场的定义,那谁都能放飞自我。~看这些民科,八成还有学物理的。我看了看,有一堆。看这个不学无术又急于写科普的样子。那个给专业勋章,呃徽章,的,一看就是个做科研的,还当助教,该上吊了吧。~

另外,

现在在那搞GUT的说的磁单极根本是另一回事,说的是\(SU(N)\)自发对称性破缺出一个\(U(1)\)来,由于真空在无穷远处,效果就跟把空间限定到\(S^2\)一样。根本不需要在时空上挖出一个孔,而且磁单极还不是个“点粒子”。你得算对称群在真空上的轨道的第二同伦群,磁荷又正好是第二陈类。现在的标准模型电弱理论\(SU(2)\)破缺到\(U(1)\)算出来的是\(0\),也就是说没有磁单极。人想解释暴涨,正好就需要这个磁单极,便试着找他,就这么个破事。自发对称性破缺导致的磁荷有极大可能存在,而修改\(U(1)\)规范场论这在当代就跟想修改狭义相对论一样属于二逼行为。

Wigner classification

~我就老想一些人明显自己功夫都不到家为什么老喜欢上网回答他人问题,然后回答个错误的答案,真让人上火。~这回答里的也是错的,因为找到的 quadratic Casimir 是 \(p^2\) 和 \(p^2 j^2\),一个不变量是质量平方,另一个不变量是角动量(平方)或者说自旋(平方)乘上质量。答主自己都在那说 \(p^0\) 的符号是不变量,下面又开始说 \(p^0\) 的符号对于 \(SO(2,1)\) 会改变,这不是有点超自然么.. 庞加莱群的任何变换都不会让质量和自旋(平方)发生改变,那么我们当然可以靠它定义单粒子态,毕竟你在任何参考系看这个态看到的质量和自旋(平方)都是一样的,这才是所谓“分类”。至于小群,那其实就是个构造不可约表示时候用的工具,虽然这工具很有用。说快子是假想粒子也不对,这看法早过时了,几年前闹的很厉害的希格斯粒子在自发破缺前也是个快子.. https://www.zhihu.com/question/20735717