为什么会有自旋1/2粒子?

为什么会有费米子?

因为\(SO(3)\)群的第一同伦群是 \(Z_2\) ,也就是说在三维转动下的物体要么转两圈能回到原状态,要么转一圈就能,只有这两种可能,没有只有转三圈才能等可能(二维转动 \(SO(2)\) 就没上限)。

\(SO(3)\) 可以看成\(RP^3\)。\(RP^3\)就是个球,其上所有点都与对面(过球心做直线交于某半径球面两点互为“对面”)等同。这是因为\(SO(3)\)是三维转动,而对于任意三维转动我们都可以由轴\({\bf n}\)和角 \(\theta\) 以及等价的\(-{\bf n}\)和角 \(-\theta\) 刻画。

现在看\(RP^3\)

  1. 想象这个特殊的球(的球面)上一个非赤道圈。绕着它转一圈能回到原来的位置。需要绕这个圈转一次才能完成一个三维的、回到原状态的转动,而绕它转一次等同于在普通的球面上转两圈(由于在对面也留下了轨迹)。这是费米子在 \(SO(3)\)作用下的行为。旋转角与球面角互为对偶因此可以这样考虑。
  2. 想象这个特殊的球上一个赤道圈。由于球上每个点都与“对面”的点等同,绕这个圈转半圈就能回到原来的位置。因此,只需要半个圈便能完成一个三维的、回到原状态的转动,绕它转半个圈等同于在普通球面上转一圈。这是玻色子在\(SO(3)\)作用下的行为。

这是我自己发明的“想象”,因为比较好跟“旋转”联系起来,比较重视第一同伦群的文献里会让你想象过球心的直线,过2次球心的轨迹(玻色子)和过4次球心(费米子)的轨迹拓扑不等价;两种看法一致:把圈在球上留下的轨迹连续形变到过球心直线上即可看出这点。

那么为什么只有在量子力学中才能看到自旋1/2系统?

  1. 其实并不完全,看 https://www.youtube.com/watch?v=Nat-EsReXtQ ,在经典世界里完全可以做出转720度才能回到原状态的结构。原理基本上就是让空间转动与顺着莫比乌斯环跑等价,见 https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor
  2. 量子力学中态不是希尔伯特空间的矢量,而是 射影 希尔伯特空间的矢量(也就是说你态前面乘上个常数无关紧要,比较不数学的书,比如Weinberg场论一册,会说态是希尔伯特空间的'ray')。因此考虑 \(SO(3)\) 时,事实上要考虑的是其射影表示。\(SO(3)\) 不是单连通的,其群表示与李代数表示之间没有同构,其李代数表示是其 universal covering \(Spin(3)=SU(2)\) 的表示:universal covering 是单连通的,而且有正合列 \(1 \rightarrow \pi_1(SO(3)) \rightarrow Spin(3) \rightarrow SO(3) \rightarrow 1\)。如果李代数表示不可约,那么 universal covering SU(2)的表示相当于 \(SO(3)\) 的射影表示。所以我们嘴上说不考虑 \(SO(3)\) 而跑过去直接考虑 \(SU(2)\) ,实际上还是在那考虑 \(SO(3)\) 的表示,虽然是射影表示。这种看法比突然跳出来一个 \(SU(2)\) 自然多了。
  3. 因此我看与其说量子力学住在希尔伯特空间的事实导致了自旋,不如说态的这种(整体)规范对称性导致了自旋。当然没人把它称作整体规范对称性。