洛伦兹群的表示综述

关于 Weinberg 那书洛伦兹群的表示,我写个综述,虽然数学不好看不懂。闵氏空间是一个仿射空间,去掉“仿射”部分剩下的是个有洛伦兹度规的矢量空间,这些矢量可以分成类光、类时、类空的。洛伦兹群是这个矢量空间的等距群,我们一般关心其中与单位元连通行列式1的部分\((SO(1,n-1)\)的正向部分,这里简称POL好了)。POL有个双覆盖。一般的\(SO(n)\)群有个双覆盖\(Spin(n)\),POL的双覆盖就是\(Spin(1,n-1)\)。为什么要考虑双覆盖,参为什么会有1/2自旋粒子

闵氏空间的等距群则加上了平移子群,也就是说商掉平移群后它跟洛伦兹群同构。注意,我们没有提庞加莱群。庞加莱群 \(P^n\) 是上述闵氏空间的等距群与单位元连通行列式1的部分的*双覆盖*。也就是说有一个正合列 \(1 \rightarrow T \rightarrow P^n \rightarrow Spin(1,n-1) -> 1\)。相对论性量子力学中的单粒子态定义为 \(P^n\) 的幺正、正能不可约表示。

平移子群是阿贝尔群,其表示分解为1维表示的直和(其实应该是积分)。平移操作被表示映射映过去时乘一个相因子,我想这个人都应该懂,平移矢量 \(v\) 在相中是 \(End(V)\)上的无穷小映射\(a\)的像\(a(v)\)。这些无穷小操作 \(a\) 又被POL在 \(End(V)\) 的作用打乱顺序。由于表示是不可约的,它们组成轨道。这些轨道按质量0和质量大于0分类,注意能量、动量是时空坐标的对偶(也就是说,活在\(End(V)\)上),因此已经有定义了。

在这些轨道上我们构造Hermitian矢量丛。矢量丛上应该有 \(Spin(1,n-1)\) 的操作,覆盖在轨道上的POL变换。为构造,可定下一个基准点,质量零用\((1,1,0,...,0)\),质量正用\((m,0,...,0)\)。我们在这个点上构造\(Spin(1,n-1)\)的 stabilizer subgroup 的有限维的幺正表示,由于stabilizer subgroup是紧的,这样的表示存在;stabilizer subgroup 的 reductive part 被称作 little group,小群;任何有限维表示会被reductive part“整除”。很显然质量零的小群是\(Spin(n-2)\),质量正是\(Spin(n-1)\)。

现在在这个矢量丛上选择\(L^2\)(勒贝格平方可积)截面。完毕。

实际操作上,Weinberg 首先找了庞加莱代数,之后找了庞加莱代数的 universal enveloping algebra 上的 quadratic Casimirs. Casimirs 跟任何代数成员都对易,因此是守恒量。这两个Casimir其实就是质量平方和质量乘上角动量平方。于是可以用它俩标明一个洛伦兹不变的单粒子态(对应上面说的,先找一个质量轨道,然后在质量轨道上再找 \(Spin(1,n-1)\)的 stabilizer subgroup的有限维幺正表示)。

庞加莱代数也可以分解成一个半单部分和一个radical(最大可解理想,也就是动量作为生成元生成的阿贝尔代数)。因此自然可以跟上面提到的一样平移操作和\(Spin(1,n-1)\)分开看(也就是说在群层面上有 平移\(\rightarrow\) 庞加莱群 \(\rightarrow Spin(1,n-1)\) 的正合列)。